Релятивистская энергия формула. Основной закон релятивистской динамики. Релятивистская энергия. Вопросы для самоконтроля и повторения

Теория относительности требует пересмотра и уточнения законов механики. Как мы видели, уравнения классической динамики (второй закон Ньютона) удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея. Но ведь преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца! Поэтому уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте.

Импульс и энергия. В теории относительности, как и в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняются импульс и энергия Е, однако релятивистские выражения для них отличаются от соответствующих классических:

здесь - масса частицы. Это масса в той системе отсчета, где частица покоится. Часто ее называют массой покоя частицы. Она совпадает с массой частицы в нерелятивистской механике.

Можно показать, что выражаемая формулами (1) зависимость импульса и энергии частицы от ее скорости в теории относительности с неизбежностью следует из релятивистского эффекта замедления времени в движущейся системе отсчета. Это будет сделано ниже.

Релятивистские энергия и импульс (1) удовлетворяют уравнениям, аналогичным соответствующим уравнениям классической механики:

Релятивистская масса. Иногда коэффициент пропорциональности в (1) между скоростью частицы и ее импульсом

называют релятивистской массой частицы. С ее помощью выражения (1) для импульса и энергии частицы можно записать в компактном виде

Если релятивистской частице, т. е. частице, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Можно сказать, что энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий и служит наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории относительности.

Энергия покоя. Самое замечательное в формуле заключается в том, что покоящееся тело обладает энергией: полагая в получаем

Энергию называют энергией покоя.

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия частицы в некоторой системе отсчета определяется как разность между ее полной энергией и энергией покоя С помощью (1) имеем

Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (6) переходит в обычное выражение для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике.

Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При релятивистская кинетическая энергия (6) неограниченно возрастает: частица, обладающая отличной от нуля массой покоя и

Рис. 10. Зависимость кинетической энергии тела от скорости

движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии от скорости частицы показана на рис. 10.

Пропорциональность массы и энергии. Из формулы (6) следует, что при разгоне тела приращение кинетической энергии сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах - именно в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет происходить не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом другом увеличении энергии тела независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 11а).

Рис. 11. Неупругое столкновение, наблюдаемое в разных системах отсчета

Пусть скорость каждого из тел до столкновения равна а масса покоя Массу покоя образовавшегося тела обозначим через Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К, движущейся относительно исходной системы К влево (рис. 11б) с малой (нерелятивистской) скоростью -и.

Так как то для преобразования скорости при переходе от К к К можно использовать классический закон сложения скоростей. Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкновения полный импульс системы равен где релятивистская масса сталкивающихся тел; после столкновения он равен ибо вследствие массу образовавшегося тела и в К можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса покоя образовавшегося в результате неупругого соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц, т. е. она больше, чем сумма масс покоя исходных частиц:

Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию, показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п.

Эквивалентность энергии и массы. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых замечательных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения.

В классической механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная, масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны, так что меры этих свойств можно выражать одним и тем же числом при надлежащем выборе единиц измерения.

Равенство инертной и гравитационной масс есть экспериментальный факт, подтвержденный с огромной степенью точности в опытах Этвеша, Дикке и др. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и масса гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их числовые характеристики пропорциональны друг другу. Такое положение вещей характеризуют словом «эквивалентность».

Аналогичный вопрос возникает в связи с понятиями массы покоя и энергии покоя в теории относительности. Проявления свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но теория относительности утверждает, что эти свойства неразрывно связаны, пропорциональны друг другу. Поэтому в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя и энергии покоя. Выражающее эту эквивалентность соотношение (5) называется формулой Эйнштейна. Она означает, что всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя меняется.

О законе сохранения массы. Опыт показывает нам, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая из взвешивания масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров.

1. Энергия, высвобождающаяся при сгорании нефти, при взрыве динамита и при других химических превращениях, представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако если перевести ее величину на язык эквивалентной массы, то окажется, что эта масса не составляет и полной величины массы покоя. Например, при соединении водорода с кислорода выделяется около энергии. Масса покоя образовавшейся воды на меньше массы исходных веществ. Такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью современных приборов.

2. При неупругом столкновении двух частиц по разогнанных навстречу друг другу до скорости добавочная масса покоя слипшейся пары составляет

(При такой скорости можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии.) Эта величина намного меньше погрешности, с которой может быть измерена масса

Масса покоя и квантовые закономерности. Естественно задать вопрос: почему при обычных условиях подавляющая часть энергии находится в совершенно пассивном состоянии и в превращениях не участвует? На этот вопрос теория относительности не может дать ответа. Ответ следует искать в области квантовых закономерностей,

одной из характерных особенностей которых является существование устойчивых состояний с дискретными уровнями энергии.

Для элементарных частиц энергия, соответствующая массе покоя, либо превращается в активную форму (излучение) целиком, либо вовсе не превращается. Примером может служить превращение пары электрон-позитрон в гамма-излучение.

У атомов подавляющая часть массы находится в форме массы покоя элементарных частиц, которая в химических реакциях не изменяется. Даже в ядерных реакциях энергия, соответствующая массе покоя тяжелых частиц (нуклонов), входящих в состав ядер, остается пассивной. Но здесь активная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия нуклонов, составляет уже заметную долю энергии покоя.

Таким образом, экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии покоя и массы покоя следует искать в мире физики элементарных частиц и ядерной физики. Например, в ядерных реакциях, идущих с выделением энергии, масса покоя конечных продуктов меньше массы покоя ядер, вступающих в реакцию. Соответствующая этому изменению массы энергия с хорошей точностью совпадает с измеренной на опыте кинетической энергией образующихся частиц.

Как импульс и энергия частицы зависят от ее скорости в релятивистской механике?

Какая физическая величина называется массой частицы? Что такое масса покоя? Что такое релятивистская масса?

Покажите, что релятивистское выражение (6) для кинетической энергии переходит в обычное классическое при .

Что такое энергия покоя? В чем заключается принципиальное отличие релятивистского выражения для энергии тела от соответствующего классического?

В каких физических явлениях обнаруживает себя энергия покоя?

Как понимать утверждение об эквивалентности массы и энергии? Приведите примеры проявления этой эквивалентности.

Сохраняется ли масса вещества при химических превращениях?

Вывод выражения для импульса. Дадим обоснование формул (1), приведенных выше без доказательства, анализируя простой мысленный опыт. Для выяснения зависимости импульса частицы от скорости рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего» столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс это столкновение имеет вид, показанный на рис. 12а: до столкновения частицы У и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, после столкновения частицы разлетаются в противоположные стороны с такими же по модулю скоростями, как и до столкновения. Другими словами,

при столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол

Как будет выглядеть это же столкновение в других системах отсчета? Направим ось х вдоль биссектрисы угла и введем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси х относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отсчета картина столкновения выгладит так, как показано на рис. 12б: частица 1 движется параллельно оси у, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное.

Сохранение х-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением

где - импульсы частиц после столкновения. Так как (рис. 126), требование сохранения импульса означает равенство х-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К:

Теперь, наряду с К, введем в рассмотрение систему отсчета К, которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2.

Рис. 12. К выводу зависимости массы тела от скорости

В этой системе частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у (рис. 12в). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство -составляющих импульса частиц

Но из симметрии картин столкновения на рис. 12б,в легко сделать вывод о том, что модуль импульса частицы 1 в системе К равен модулю импульса частицы 2 в системе отсчета поэтому

Сопоставляя два последних равенства, находим т. е. у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и К. Точно так же находим Другими словами, у-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах. В этом и заключается главный вывод из рассмотренного мысленного эксперимента.

Но у-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К. Согласно формулам преобразования скорости

где есть скорость системы К относительно К. Таким образом, в К у-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К.

Это уменьшение у-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К расстояние между штриховыми линиями А и В (рис. 12б, в) частица 1 в системе К проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно (собственное время, так как оба события - пересечение штрихов А и В - происходят в К при одном и том же значении координаты то в системе К это время больше и равно

Вспоминая теперь, что у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах К и К, мы видим, что в системе К, где у-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать как бы ббльшую массу, если под массой понимать, как и в нерелятивистской физике, коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом. Как уже отмечалось, этот коэффициент называют иногда релятивистской массой. Релятивистская масса частицы зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В той системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между скоростью и импульсом частицы справедливо обычное классическое выражение где есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя).

12.4. Энергия релятивистской частицы

12.4.1. Энергия релятивистской частицы

Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:

E = E 0 + T ,

Эквивалентность массы и энергии (формула Эйнштейна) позволяет определить энергию покоя релятивистской частицы и ее полную энергию следующим образом:

• энергия покоя -

E 0 = m 0 c 2 ,

где m 0 - масса покоя релятивистской частицы (масса частицы в собственной системе отсчета); c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с;

• полная энергия -

E = mc 2 ,

где m - масса движущейся частицы (масса частицы, движущейся относительно наблюдателя с релятивистской скоростью v ); c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с.

Связь между массами m 0 (масса покоящейся частицы) и m (масса движущейся частицы) определяется выражением

Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется разностью:

T = E − E 0 ,

где E - полная энергия движущейся частицы, E = mc 2 ; E 0 - энергия покоя указанной частицы, E 0 = m 0 c 2 ; массы m 0 и m связаны формулой

m = m 0 1 − v 2 c 2 ,

где m 0 - масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица покоится; m - масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица движется со скоростью v ; c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с.

В явном виде кинетическая энергия релятивистской частицы определяется формулой

T = m c 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 (1 1 − v 2 c 2 − 1) .

Пример 6. Скорость релятивистской частицы составляет 80 % от скорости света. Определить, во сколько раз полная энергия частицы больше ее кинетической энергии.

Решение . Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:

E = E 0 + T ,

где E - полная энергия движущейся частицы; E 0 - энергия покоя указанной частицы; T - ее кинетическая энергия.

Отсюда следует, что кинетическая энергия является разностью

T = E − E 0 .

Искомой величиной является отношение

E T = E E − E 0 .

Для упрощения расчетов найдем величину, обратную искомой:

T E = E − E 0 E = 1 − E 0 E ,

где E 0 = m 0 c 2 ; E = mc 2 ; m 0 - масса покоя; m - масса движущейся частицы; c - скорость света в вакууме.

Подстановка выражений для E 0 и E в отношение (T /E ) дает

T E = 1 − m 0 c 2 m c 2 = 1 − m 0 m .

Связь между массами m 0 и m определяется формулой

m = m 0 1 − v 2 c 2 ,

где v - скорость релятивистской частицы, v = 0,80c .

Выразим отсюда отношение масс:

m 0 m = 1 − v 2 c 2

и подставим его в (T /E ):

T E = 1 − 1 − v 2 c 2 .

Рассчитаем:

T E = 1 − 1 − (0,80 c) 2 c 2 = 1 − 0,6 = 0,4 .

Искомой величиной является обратное отношение

E T = 1 0,4 = 2,5 .

Полная энергия релятивистской частицы при указанной скорости превышает ее кинетическую энергию в 2,5 раза.

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону

где - масса покоя , т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m - масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v .

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса :

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая . Таким образом, классическая механика - это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.

Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса : релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость - закон взаимосвязи массы и энергии - установил А. Эйнштейн:

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся ) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

Энергия покоя является внутренней энергией тела , которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.

В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии : изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:

Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.

Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.

Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

В релятивистской динамике значение кинетической энергии Е к определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е 0 тела:

При уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Краткие выводы:

Специальная теория относительности - это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна - принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.

Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением

Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения

Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:

Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. В чем заключается физическая сущность механического принципа относительности? Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа относительности Эйнштейна?

2. Каковы причины создания специальной теории относительности?

3. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.

4. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?

5. В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?

6. Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?

7. Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от основного закона ньютоновской механики?

8. В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

9. Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?

10. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность?с . Определить его релятивистский импульс и кинетическую энергию .

Дано: кг; v =0,7c ; с =3· 10 8 м/с.

Найти: р, E k .

Релятивистский импульс протона вычислим по формуле

Кинетическая энергия частицы

где Е - полная энергия движущегося протона; Е 0 - энергия покоя.

Ответ: р = 5,68·10 -19 Н·с; E k = 7,69·10 -11 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

1. С какой скоростью должен двигаться стержень, чтобы размеры его в направлении движения сократились в три раза?

2. Частица движется со скоростью v = 8 c . Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

3. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в три раза.

4. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого E k = 1 ГэВ.

5. На сколько процентов увеличится масса электрона после прохождения им в ускоряющем электрическом поле разности потенциалов 1,5 МВ?

Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, оказываются всегда равными

Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела . Скажем, протон с нейтроном столкнулись, но все еще продолжают двигаться внутри . Масса тела , как мы обнаружили, равна не , а . Этой массой снабдили тело его составные части, чья масса покоя была ; значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, конечно, что у энергии есть инерция. Ранее мы говорили о нагреве газа и показали, что поскольку молекулы газа движутся, а движущиеся тела становятся массивнее, то при нагревании газа и усилении движения молекул газ становится тяжелее. Но на самом деле такое рассуждение является совершенно общим; наше обсуждение свойств неупругого соударения тоже показывает, что добавочная масса появляется всегда, даже тогда, когда она не является кинетической энергией. Иными словами, если две частицы сближаются и при этом образуется потенциальная или другая форма энергии, если части составного тела замедляются потенциальным барьером, производя работу против внутренних сил, и т. д.,- во всех этих случаях масса тела по-прежнему равна полной привнесенной энергии. Итак, вы видите, что выведенное выше сохранение массы равнозначно сохранению энергии, поэтому в теории относительности нельзя говорить о неупругих соударениях, как это было в механике Ньютона. Согласно механике Ньютона, ничего страшного не произошло бы, если бы два тела, столкнувшись, образовали тело с массой , не отличающееся от того, какое получилось бы, если их медленно приложить друг к другу. Конечно, из закона сохранения энергии мы знаем, что внутри тела имеется добавочная кинетическая энергия, но по закону Ньютона на массу это никак не влияет. А теперь выясняется, что это невозможно: поскольку до столкновения у тел была кинетическая энергия, то составное тело окажется тяжелее; значит, это будет уже другое тело. Если осторожно приложить два тела друг к другу, то возникает тело с массой ; когда же вы их с силой столкнете, то появится тело с большей массой. А если масса отличается, то мы можем это заметить. Итак, сохранение импульса в теории относительности с необходимостью сопровождается сохранением энергии.

Отсюда вытекают интересные следствия. Пусть имеется тело с измеренной массой , и предположим, что что-то стряслось и оно распалось на две равные части, имеющие скорости и массы . Предположим теперь, что эти части, двигаясь через вещество, постепенно замедлились и остановились. Теперь их масса . Сколько энергии они отдали веществу? По теореме, доказанной раньше, каждый кусок отдаст энергию . Она перейдет в разные формы, например в теплоту, в потенциальную энергию и т. д. Так как , то высвободившаяся энергия . Это уравнение было использовано для оценки количества энергии, которое могло бы выделиться при ядерном расщеплении в атомной бомбе (хотя части бомбы не точно равны, но примерно они равны). Масса атома урана была известна (ее измерили заранее), была известна и масса атомов, на которые она расщеплялась,- иода, ксенона и т. д. (имеются в виду не массы движущихся атомов, а массы покоя). Иными словами, и и были известны. Вычтя одно значение массы из другого, можно прикинуть, сколько энергии высвободится, если распадется «пополам». По этой причине все газеты считали Эйнштейна «отцом» атомной бомбы. На самом же деле под этим подразумевалось только, что он мог бы заранее подсчитать выделившуюся энергию, если бы ему указали, какой процесс произойдет. Энергию, которая должна высвободиться, когда атом урана подвергнется распаду, подсчитали лишь за полгода до первого прямого испытания. И как только энергия действительно выделилась, ее непосредственно измерили (не будь формулы Эйнштейна, энергию измерили бы другим способом), а с момента, когда ее измерили, формула уже была не нужна. Это отнюдь не принижение заслуг Эйнштейна, а скорее критика газетных высказываний и популярных описаний развития физики и техники. Проблема, как добиться того, чтобы процесс выделения энергии прошел эффективно и быстро, ничего общего с формулой не имеет.

Формула имеет значение и в химии. Скажем, если бы мы взвесили молекулу двуокиси углерода и сравнили ее массу с массой углерода и кислорода, мы бы могли определить, сколько энергии высвобождается, когда углерод и кислород образуют углекислоту. Плохо только то, что эта разница масс так мала, что технически опыт очень трудно проделать.

Теперь обратимся к такому вопросу: нужно ли отныне добавлять к кинетической энергии и говорить с этих нор, что полная энергия объекта равна ? Во-первых, если бы нам были видны составные части с массой покоя внутри объекта , то можно было бы говорить, что часть массы есть механическая масса покоя составных частей, а другая часть - их кинетическая энергия, третья - потенциальная. Хотя в природе и на самом деле открыты различные частицы, с которыми происходят как раз такие реакции (реакции слияния в одну), однако никакими способами невозможно при этом разглядеть внутри какие-то составные части. Например, распад -мезона на два пиона происходит по закону (16.11), но бессмысленно считать, что он состоит из , потому что он распадается порой и на !

Формула Е = тс 2 для релятивистской энергии позволяет дать новую, релятивистскую интерпретации массы частицы (материальной точки). Она показывает, что наличие у частицы энергии Е означает наличие у нее массы Е /с 2 , и наоборот, наличие массы т означает наличие энергии тс?. Таким образом, масса, которая в классической механике интерпретируется либо как мера инертности тела (второй закон Ньютона), либо как мера его гравитационного действия (закон всемирного тяготения), в релятивистской механике выступает в новой функции: это есть мера энергосодержания тела, независимо от его инертных или гравитационных свойств. В частности, любое тело обладает энергией даже в состоянии покоя: это его энергия покоя тщс 2 . Универсальность взаимосвязи массы и энергии проявляется в том, что «энергосодержание» тела включает в себя любой вид энергии, заключенной в теле, в том числе, например, внутриядерной энергии, освобождающейся при ядерном взрыве (что и подтверждается при расчетах взрывов атомных бомб).

Хотя мы часто употребляли понятия «материальная точка» или «частица», но нигде не использовали ни точечных свойств тела, ни «элементарность» частицы. Поэтому формула для релятивистской энергии применима и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под скоростью и мы понимаем скорость его движения как целого, а под его релятивистской массой его массу как целого. И тогда очевидно, что релятивистская энергия тела всегда положительная величина, непосредственно связанная с его массой. В этой связи можно заметить, что в классической механике положительной является только кинетическая энергия тела, тогда как полная (сохраняющаяся) энергия кинетическая плюс потенциальная может быть и отрицательной.

Пусть механическая система как целое покоится, и пусть М 0 ее масса покоя. Если она состоит из свободно движущихся частиц, то ее релятивистская энергия равна сумме релятивистских энергий входящих в ее состав частиц. Совсем иную картину мы имеем в случае, когда частицы сложного тела (системы) взаимодействуют друг с другом. Тогда полная энергия Мд с 2 сложного тела содержит, помимо энергии покоя входящих в его состав частиц, их кинетическую энергию (они могут двигаться внутри замкнутой системы), а также энергию их взаимодействия друг с другом (пример энергия ядерного взаимодействия частиц, образующих ядро атома). Таким образом, энергия Mqc? тела не равна сумме Хд т 0 кС 2 , где тдд, - масса покоя к-ой частицы тела. Отсюда прямо следует, что масса Мо покоящегося тела не равна сумме масс покоя его составных частей: Мо ф Хд т 0?- Это означает, что в релятивистской динамике не выполняется закон сохранения массы. Это еще одно ее отличие от классической механики: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместе с тем релятивистская энергия замкнутой системы сохраняется, если принимать во внимание и энергию покоя системы. Если не учитывать во всех системах энергию покоя в составе полной энергии, то невозможно удовлетворить закону сохранения импульса и энергии во всех системах отсчета. Этот урок, преподнесенный нам релятивистской физикой, никак не предполагался в физике Ньютона.

Системы взаимодействующих частиц можно разделить на два типа: системы, которые могут самопроизвольно распадаться, и системы связанные, т. е. обладающие запасом прочности. Если система распадается, то ее релятивистская энергия частично переходит в кинетическую энергию освободившихся частиц; для этого, следовательно, необходимо Мдс 2 > Xa- или

ilio > Xa m 0 k, ~ тело может самопроизвольно распадаться лишь на части, сумма масс покоя которых меньше массы покоя тела. Напротив, если Мд энергией связи тела: Е св. Положительная величина

называется дефектом масс сложного тела.

Как видим, в релятивистской механике масса и энергия системы частиц зависят от ее состава и внутреннего состояния. В случае связанной (прочной) системы, например, атомного ядра, сумма масс покоя свободных протонов и нейтронов всегда больше массы покоя образованного из них ядра.