Pangkalahatan ang equation ng paggalaw ng batas ni Hooke. Ang kahulugan at pormula ng batas ni Hooke. Matematika na pagpapahayag ng batas
8.2. Mga pangunahing batas na ginagamit sa lakas ng mga materyales
Mga ugnayang static. Ang mga ito ay nakasulat sa anyo ng mga sumusunod na equation ng ekwilibriyo.
Batas ni Hooke ( 1678): mas malaki ang puwersa, mas malaki ang pagpapapangit, at, bukod dito, ay direktang proporsyonal sa puwersa. Sa pisikal, nangangahulugan ito na ang lahat ng mga katawan ay mga bukal, ngunit may malaking tigas. Kapag ang isang sinag ay nakaunat lamang sa pamamagitan ng isang longitudinal na puwersa N= F ang batas na ito ay maaaring isulat bilang:
Dito 
longitudinal na puwersa, l- haba ng sinag, A- ang cross-sectional area nito, E- koepisyent ng pagkalastiko ng unang uri ( Modulus ni Young).
Isinasaalang-alang ang mga formula para sa mga stress at strain, ang batas ni Hooke ay isinulat tulad ng sumusunod: 
.
Ang isang katulad na relasyon ay sinusunod sa mga eksperimento sa pagitan ng tangential stresses at shear angle:
.
G
tinawagmodulus ng paggugupit
, mas madalas – elastic modulus ng pangalawang uri. Tulad ng anumang batas, ang batas ni Hooke ay mayroon ding limitasyon ng pagkakalapat. Boltahe 
, hanggang sa kung saan ang batas ni Hooke ay wasto, ay tinatawag limitasyon ng proporsyonalidad(ito ang pinakamahalagang katangian sa lakas ng mga materyales).
Ilarawan natin ang pagtitiwala
mula sa
graphically (Larawan 8.1). Ang larawang ito ay tinatawag stretch diagram
. Pagkatapos ng punto B (i.e. sa 
) ang pag-asa na ito ay hindi na maging linear.
Sa 
pagkatapos ng alwas, lumilitaw ang mga natitirang deformation sa katawan, samakatuwid 
tinawag nababanat na limitasyon
.
Kapag ang boltahe ay umabot sa halaga σ = σ t, maraming mga metal ang nagsisimulang magpakita ng isang ari-arian na tinatawag pagkalikido. Nangangahulugan ito na kahit na sa ilalim ng patuloy na pag-load, ang materyal ay patuloy na nag-deform (iyon ay, kumikilos ito tulad ng isang likido). Sa graphically, nangangahulugan ito na ang diagram ay parallel sa abscissa (seksyon DL). Ang boltahe σ t kung saan dumadaloy ang materyal ay tinatawag lakas ng ani .
Ang ilang mga materyales (St. 3 - construction steel) pagkatapos ng maikling daloy ay nagsisimulang lumaban muli. Ang paglaban ng materyal ay nagpapatuloy hanggang sa isang tiyak na pinakamataas na halaga σ pr, pagkatapos ay magsisimula ang unti-unting pagkasira. Ang dami σ pr ay tinatawag lakas ng makunat (kasingkahulugan para sa bakal: makunat lakas, para sa kongkreto - kubiko o prismatic lakas). Ginagamit din ang mga sumusunod na pagtatalaga:
=R b
Ang isang katulad na relasyon ay sinusunod sa mga eksperimento sa pagitan ng mga shear stress at shears.
3) Batas Duhamel–Neumann (linear thermal expansion):
Sa pagkakaroon ng pagkakaiba sa temperatura, nagbabago ang laki ng mga katawan, at sa direktang proporsyon sa pagkakaiba ng temperatura na ito.
Hayaang magkaroon ng pagkakaiba sa temperatura 
. Kung gayon ang batas na ito ay mukhang:
Dito α - koepisyent ng linear thermal expansion, l - haba ng baras, Δ l- pagpapahaba nito.
4) Batas ng Paggapang .
Ipinakita ng pananaliksik na ang lahat ng mga materyales ay lubos na magkakaibang sa maliliit na lugar. Ang eskematiko na istraktura ng bakal ay ipinapakita sa Fig. 8.2.
Ang ilan sa mga bahagi ay may mga katangian ng isang likido, kaya maraming mga materyales sa ilalim ng pagkarga ay tumatanggap ng karagdagang pagpahaba sa paglipas ng panahon 
(Larawan 8.3.) (mga metal sa mataas na temperatura, kongkreto, kahoy, plastik - sa normal na temperatura). Ang kababalaghang ito ay tinatawag kilabot materyal.
Ang batas para sa mga likido ay: mas malaki ang puwersa, mas malaki ang bilis ng paggalaw ng katawan sa likido. Kung ang ugnayang ito ay linear (i.e. ang puwersa ay proporsyonal sa bilis), maaari itong isulat bilang:
E 
Kung lumipat tayo sa mga kamag-anak na pwersa at mga kamag-anak na pagpahaba, nakukuha natin
Narito ang index" cr
"Nangangahulugan na ang bahagi ng pagpahaba na sanhi ng paggapang ng materyal ay isinasaalang-alang. Mga katangiang mekanikal 
tinatawag na viscosity coefficient.
Batas ng konserbasyon ng enerhiya.
Isaalang-alang ang isang load beam
Ipakilala natin ang konsepto ng paglipat ng isang punto, halimbawa,
- patayong paggalaw ng punto B;
- pahalang na pag-aalis ng punto C.
Mga kapangyarihan 
habang gumagawa ng ilang gawain U.
Isinasaalang-alang na ang mga puwersa 
nagsimulang tumaas nang paunti-unti at sa pag-aakalang tumaas ang mga ito sa proporsyon ng mga displacement, nakukuha natin ang:
.
Ayon sa batas ng konserbasyon: walang trabahong nawawala, ito ay ginugugol sa paggawa ng ibang gawain o nagiging ibang enerhiya (enerhiya- ito ang gawain na kayang gawin ng katawan.).
Gawain ng pwersa 
, ay ginugugol sa pagtagumpayan ng paglaban ng mga nababanat na pwersa na nagmumula sa ating katawan. Upang kalkulahin ang gawaing ito, isinasaalang-alang namin na ang katawan ay maaaring isaalang-alang na binubuo ng maliliit na nababanat na mga particle. Isaalang-alang natin ang isa sa mga ito:
Ito ay napapailalim sa pag-igting mula sa mga kalapit na particle 
. Ang magiging resulta ng stress ay 
Sa ilalim ng impluwensiya 
hahaba ang butil. Ayon sa kahulugan, ang pagpahaba ay ang pagpahaba sa bawat yunit ng haba. Pagkatapos:
Kalkulahin natin ang gawain dW, na ginagawa ng puwersa dN (dito ay isinasaalang-alang din na ang pwersa dN magsimulang tumaas nang paunti-unti at tumataas sila nang proporsyonal sa mga paggalaw):
Para sa buong katawan nakukuha natin:
.
Trabaho W na ginawa 
, tinawag nababanat na enerhiya ng pagpapapangit.
Ayon sa batas ng konserbasyon ng enerhiya:
6)Prinsipyo posibleng paggalaw .
Ito ay isa sa mga pagpipilian para sa pagsulat ng batas ng konserbasyon ng enerhiya.
Hayaang kumilos ang mga puwersa sa sinag F 1
,
F 2
,
…
. Nagiging sanhi sila ng paggalaw ng mga puntos sa katawan 
at boltahe 
. Ibigay natin ang katawan karagdagang maliliit na posibleng paggalaw
. Sa mechanics, isang notasyon ng form 
nangangahulugang ang pariralang “posibleng halaga ng dami A" Ang mga posibleng paggalaw na ito ay magiging sanhi ng katawan karagdagang posibleng mga deformation
. Sila ay hahantong sa paglitaw ng mga karagdagang panlabas na puwersa at stress 
,
δ.
Kalkulahin natin ang gawain ng mga panlabas na puwersa sa karagdagang posibleng maliliit na displacement:
Dito 
- mga karagdagang paggalaw ng mga puntong iyon kung saan inilalapat ang mga puwersa F 1
,
F 2
,
…
Isaalang-alang muli ang isang maliit na elemento na may cross section dA at haba dz (tingnan ang Fig. 8.5. at 8.6.). Ayon sa kahulugan, karagdagang pagpahaba dz ng elementong ito ay kinakalkula ng formula:
dz= dz.
Ang tensile force ng elemento ay magiging:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Ang gawain ng mga panloob na pwersa sa karagdagang mga displacement ay kinakalkula para sa isang maliit na elemento tulad ng sumusunod:
dW = dN dz = dA dz = dV
SA 
pagbubuod ng enerhiya ng pagpapapangit ng lahat ng maliliit na elemento ay nakuha natin ang kabuuang enerhiya ng pagpapapangit:
Batas ng konserbasyon ng enerhiya W = U nagbibigay ng:
.
Ang ratio na ito ay tinatawag prinsipyo ng mga posibleng paggalaw(tinatawag din itong prinsipyo ng virtual na paggalaw). Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang kaso kapag kumikilos din ang tangential stresses. Pagkatapos ay maaari nating makuha iyon sa enerhiya ng pagpapapangit W ang sumusunod na termino ay idadagdag:
Narito ang ay ang shear stress, ay ang displacement ng maliit na elemento. Pagkatapos prinsipyo ng mga posibleng paggalaw kukuha ng form:
Hindi tulad ng nakaraang anyo ng pagsulat ng batas ng konserbasyon ng enerhiya, walang pagpapalagay dito na ang mga pwersa ay nagsisimulang tumaas nang unti-unti, at sila ay tumataas sa proporsyon sa mga displacement.
7) Epekto ng poisson.
Isaalang-alang natin ang pattern ng sample elongation:
Ang kababalaghan ng pagpapaikli ng elemento ng katawan sa direksyon ng pagpahaba ay tinatawag Epekto ng poisson.
Hanapin natin ang longitudinal relative deformation.
Ang transverse relative deformation ay magiging:
Ang ratio ng Poisson ang dami ay tinatawag na:
Para sa isotropic na materyales (bakal, cast iron, kongkreto) Poisson's ratio
Nangangahulugan ito na sa transverse direksyon ang pagpapapangit mas kaunti pahaba
Tandaan
: Ang mga modernong teknolohiya ay maaaring lumikha ng mga pinagsama-samang materyales na may Poisson's ratio >1, iyon ay, ang transverse deformation ay magiging mas malaki kaysa sa longitudinal. Halimbawa, ito ang kaso para sa isang materyal na pinalakas ng matibay na mga hibla sa mababang anggulo 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, ibig sabihin. ang mas kaunti 
, mas malaki ang ratio ng Poisson.
Fig.8.8. Fig.8.9
Ang higit na nakakagulat ay ang materyal na ipinakita sa (Larawan 8.9.), at para sa naturang reinforcement mayroong isang kabalintunaan na resulta - ang longitudinal elongation ay humahantong sa isang pagtaas sa laki ng katawan sa nakahalang direksyon.
8) Pangkalahatan ang batas ni Hooke.
Isaalang-alang natin ang isang elemento na umaabot sa longitudinal at transverse na direksyon. Hanapin natin ang pagpapapangit na nangyayari sa mga direksyong ito. 
Kalkulahin natin ang pagpapapangit 
na nagmumula sa pagkilos 
:
Isaalang-alang natin ang pagpapapangit mula sa pagkilos 
, na lumitaw bilang resulta ng epekto ng Poisson:
Ang pangkalahatang pagpapapangit ay magiging:
Kung may bisa at 
, pagkatapos ay isa pang pagpapaikli ay idadagdag sa direksyon ng x axis 
.
Kaya naman: 
Gayundin: 
Ang mga ugnayang ito ay tinatawag pangkalahatan ang batas ni Hooke.
Ito ay kagiliw-giliw na kapag nagsusulat ng batas ni Hooke, ang isang pagpapalagay ay ginawa tungkol sa pagsasarili ng mga elongation strains mula sa shear strains (tungkol sa kalayaan mula sa shear stresses, na parehong bagay) at vice versa. Kinumpirma ng mga eksperimento ang mga pagpapalagay na ito. Sa hinaharap, tandaan namin na ang lakas, sa kabaligtaran, ay lubos na nakasalalay sa kumbinasyon ng tangential at normal na mga stress.
Tandaan: Ang mga batas at pagpapalagay sa itaas ay kinumpirma ng maraming direkta at hindi direktang mga eksperimento, ngunit, tulad ng lahat ng iba pang mga batas, ang mga ito ay may limitadong saklaw ng kakayahang magamit.
Ang batas ni Hooke ay natuklasan noong ika-17 siglo ng Ingles na si Robert Hooke. Ang pagtuklas na ito tungkol sa pag-uunat ng isang bukal ay isa sa mga batas ng teorya ng pagkalastiko at may mahalagang papel sa agham at teknolohiya.
Kahulugan at pormula ng batas ni Hooke
Ang pagbabalangkas ng batas na ito ay ang mga sumusunod: ang nababanat na puwersa na lumilitaw sa sandali ng pagpapapangit ng isang katawan ay proporsyonal sa pagpahaba ng katawan at nakadirekta sa tapat ng paggalaw ng mga particle ng katawan na ito na may kaugnayan sa iba pang mga particle sa panahon ng pagpapapangit.
Ang mathematical notation ng batas ay ganito ang hitsura:
kanin. 1. Formula ng batas ni Hooke
saan Fupr– alinsunod dito, ang nababanat na puwersa, x– pagpahaba ng katawan (ang distansya kung saan nagbabago ang orihinal na haba ng katawan), at k– proportionality coefficient, tinatawag na body rigidity. Ang puwersa ay sinusukat sa Newtons, at ang pagpahaba ng katawan ay sinusukat sa metro.
Upang ipakita ang pisikal na kahulugan ng paninigas, kailangan mong palitan ang yunit kung saan sinusukat ang pagpahaba sa pormula para sa batas ni Hooke - 1 m, na dati nang nakakuha ng isang expression para sa k.
kanin. 2. Formula ng paninigas ng katawan
Ang pormula na ito ay nagpapakita na ang katigasan ng isang katawan ay ayon sa bilang na katumbas ng nababanat na puwersa na nangyayari sa katawan (spring) kapag ito ay na-deform ng 1 m. Alam na ang katigasan ng isang bukal ay nakasalalay sa hugis, sukat at materyal nito. kung saan ginawa ang katawan.
Nababanat na puwersa
Ngayong alam na natin kung anong pormula ang nagpapahayag ng batas ni Hooke, kailangang maunawaan ang pangunahing halaga nito. Ang pangunahing dami ay ang nababanat na puwersa. Lumilitaw ito sa isang tiyak na sandali kapag ang katawan ay nagsimulang mag-deform, halimbawa, kapag ang isang spring ay naka-compress o nakaunat. Ito ay nakadirekta sa kabaligtaran ng direksyon mula sa grabidad. Kapag ang nababanat na puwersa at ang puwersa ng grabidad na kumikilos sa katawan ay naging pantay, huminto ang suporta at ang katawan.
Ang pagpapapangit ay isang hindi maibabalik na pagbabago na nangyayari sa laki ng katawan at hugis nito. Ang mga ito ay nauugnay sa paggalaw ng mga particle na may kaugnayan sa bawat isa. Kung ang isang tao ay nakaupo sa isang malambot na upuan, pagkatapos ay ang pagpapapangit ay magaganap sa upuan, iyon ay, ang mga katangian nito ay magbabago. Ito ay may iba't ibang uri: baluktot, pag-uunat, compression, paggugupit, pamamaluktot.
Dahil ang nababanat na puwersa ay nauugnay sa pinagmulan sa mga electromagnetic na pwersa, dapat mong malaman na ito ay lumitaw dahil sa katotohanan na ang mga molekula at atomo - ang pinakamaliit na mga particle na bumubuo sa lahat ng mga katawan - ay umaakit at nagtataboy sa isa't isa. Kung ang distansya sa pagitan ng mga particle ay napakaliit, kung gayon ang mga ito ay apektado ng repulsive force. Kung ang distansya na ito ay tumaas, kung gayon ang puwersa ng pagkahumaling ay kikilos sa kanila. Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kaakit-akit at salungat na pwersa ay nagpapakita ng sarili sa nababanat na pwersa.
Kasama sa elastic force ang ground reaction force at body weight. Ang lakas ng reaksyon ay partikular na interes. Ito ang puwersa na kumikilos sa isang katawan kapag ito ay inilagay sa anumang ibabaw. Kung ang katawan ay nasuspinde, kung gayon ang puwersa na kumikilos dito ay tinatawag na puwersa ng pag-igting ng sinulid.
Mga tampok ng nababanat na puwersa
Tulad ng nalaman na natin, ang nababanat na puwersa ay lumitaw sa panahon ng pagpapapangit, at ito ay naglalayong ibalik ang orihinal na mga hugis at sukat na mahigpit na patayo sa deformed na ibabaw. Ang mga nababanat na puwersa ay mayroon ding ilang mga tampok.
- nangyayari ang mga ito sa panahon ng pagpapapangit;
- lumilitaw ang mga ito sa dalawang deformable na katawan nang sabay-sabay;
- ang mga ito ay patayo sa ibabaw na may kaugnayan sa kung saan ang katawan ay deformed.
- sila ay kabaligtaran sa direksyon sa pag-aalis ng mga particle ng katawan.
Paglalapat ng batas sa pagsasagawa
Ang batas ni Hooke ay inilapat kapwa sa teknikal at high-tech na mga aparato, at sa kalikasan mismo. Halimbawa, ang mga nababanat na puwersa ay matatagpuan sa mga mekanismo ng relo, sa mga shock absorber sa transportasyon, sa mga lubid, goma na banda, at maging sa mga buto ng tao. Ang prinsipyo ng batas ni Hooke ay sumasailalim sa dynamometer, isang aparato na ginagamit sa pagsukat ng puwersa.
Ministri ng Edukasyon ng Autonomous Republic of Crimea
Ang Tauride National University ay ipinangalan. Vernadsky
Pag-aaral ng batas pisikal
BATAS NI HOOKE
Nakumpleto ni: 1st year student
Faculty of Physics gr. F-111
Potapov Evgeniy
Simferopol-2010
Plano:
Ang koneksyon sa pagitan ng kung anong phenomena o dami ang ipinahayag ng batas.
Pahayag ng batas
Matematika na pagpapahayag ng batas.
Paano natuklasan ang batas: batay sa pang-eksperimentong data o ayon sa teorya?
Nakaranas ng mga katotohanan batay sa kung saan nabuo ang batas.
Mga eksperimento na nagpapatunay sa bisa ng batas na nabuo batay sa teorya.
Mga halimbawa ng paggamit ng batas at pagsasaalang-alang sa epekto ng batas sa pagsasagawa.
Panitikan.
Ang kaugnayan sa pagitan ng kung anong mga phenomena o dami ang ipinahayag ng batas:
Ang batas ni Hooke ay nag-uugnay ng mga phenomena tulad ng stress at deformation ng isang solid, elastic modulus at elongation. Ang modulus ng nababanat na puwersa na nagmumula sa panahon ng pagpapapangit ng isang katawan ay proporsyonal sa pagpapahaba nito. Ang pagpahaba ay isang katangian ng deformability ng isang materyal, na sinusuri ng pagtaas sa haba ng isang sample ng materyal na ito kapag nakaunat. Ang nababanat na puwersa ay isang puwersa na nanggagaling sa panahon ng pagpapapangit ng isang katawan at sinasalungat ang pagpapapangit na ito. Ang stress ay isang sukatan ng mga panloob na pwersa na lumitaw sa isang deformable na katawan sa ilalim ng impluwensya ng mga panlabas na impluwensya. Ang pagpapapangit ay isang pagbabago sa relatibong posisyon ng mga particle ng isang katawan na nauugnay sa kanilang paggalaw na may kaugnayan sa bawat isa. Ang mga konseptong ito ay nauugnay sa tinatawag na stiffness coefficient. Depende ito sa nababanat na mga katangian ng materyal at sa laki ng katawan.
Pahayag ng batas:
Ang batas ni Hooke ay isang equation ng theory of elasticity na nag-uugnay ng stress at deformation ng isang elastic medium.
Ang pagbabalangkas ng batas ay ang nababanat na puwersa ay direktang proporsyonal sa pagpapapangit.
Matematika na pagpapahayag ng batas:
Para sa isang manipis na tensile rod, ang batas ni Hooke ay may anyo:
Dito F puwersa ng pag-igting ng baras, Δ l- ang pagpahaba nito (compression), at k tinawag koepisyent ng pagkalastiko(o katigasan). Ang minus sa equation ay nagpapahiwatig na ang puwersa ng pag-igting ay palaging nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa pagpapapangit.
Kung ipinasok mo ang kamag-anak na pagpahaba
at normal na stress sa cross section
tapos ganito ang isusulat ng batas ni Hooke
Sa form na ito ito ay may bisa para sa anumang maliit na volume ng bagay.
Sa pangkalahatang kaso, ang stress at strain ay mga tensor ng pangalawang ranggo sa tatlong-dimensional na espasyo (mayroon silang 9 na bahagi bawat isa). Ang tensor ng elastic constants na nagkokonekta sa kanila ay isang tensor ng ikaapat na ranggo C ijkl at naglalaman ng 81 coefficients. Dahil sa simetrya ng tensor C ijkl, pati na rin ang mga stress at strain tensor, 21 constants lang ang independent. Ganito ang hitsura ng batas ni Hooke:
kung saan σ ij- stress tensor, - strain tensor. Para sa isang isotropic na materyal, ang tensor C ijkl naglalaman lamang ng dalawang independent coefficient.
Paano natuklasan ang batas: batay sa pang-eksperimentong data o ayon sa teorya:
Ang batas ay natuklasan noong 1660 ng English scientist na si Robert Hooke (Hook) batay sa mga obserbasyon at eksperimento. Ang pagtuklas, tulad ng sinabi ni Hooke sa kanyang sanaysay na "De potentia restitutiva", na inilathala noong 1678, ay ginawa niya 18 taon na ang nakalilipas, at noong 1676 ay inilagay ito sa isa pa niyang aklat sa ilalim ng pagkukunwari ng anagram na "ceiiinosssttuv", ibig sabihin. "Ut tension sic vis" . Ayon sa paliwanag ng may-akda, ang batas ng proporsyonalidad sa itaas ay nalalapat hindi lamang sa mga metal, kundi pati na rin sa kahoy, bato, sungay, buto, salamin, seda, buhok, atbp.
Nakaranas ng mga katotohanan batay sa kung saan nabuo ang batas:
Tahimik ang kasaysayan tungkol dito..
Mga eksperimento na nagpapatunay sa bisa ng batas na nabuo batay sa teorya:
Ang batas ay nabuo batay sa pang-eksperimentong data. Sa katunayan, kapag lumalawak ang isang katawan (kawad) na may isang tiyak na koepisyent ng paninigas k sa layo Δ l, kung gayon ang kanilang produkto ay magiging katumbas ng magnitude sa puwersang nag-uunat sa katawan (kawad). Ang relasyon na ito ay magiging totoo, gayunpaman, hindi para sa lahat ng mga pagpapapangit, ngunit para sa mga maliliit. Sa malalaking pagpapapangit, ang batas ni Hooke ay tumigil sa paggamit at ang katawan ay bumagsak.
Mga halimbawa ng paggamit ng batas at pagsasaalang-alang sa epekto ng batas sa pagsasagawa:
Tulad ng sumusunod mula sa batas ni Hooke, ang pagpahaba ng isang bukal ay maaaring gamitin upang hatulan ang puwersang kumikilos dito. Ang katotohanang ito ay ginagamit upang sukatin ang mga puwersa gamit ang isang dynamometer - isang spring na may linear scale na naka-calibrate para sa iba't ibang mga halaga ng puwersa.
Panitikan.
1. Mga mapagkukunan ng Internet: - Website ng Wikipedia (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).
2. aklat-aralin sa pisika Peryshkin A.V. Ika-9 na grado
3. aklat-aralin sa pisika V.A. Kasyanov ika-10 baitang
4. mga lektura sa mekanika Ryabushkin D.S.
Ang pagkilos ng mga panlabas na puwersa sa isang solidong katawan ay humahantong sa paglitaw ng mga stress at deformation sa mga punto sa dami nito. Sa kasong ito, ang stress na estado sa isang punto, ang relasyon sa pagitan ng mga stress sa iba't ibang mga lugar na dumadaan sa puntong ito, ay tinutukoy ng mga equation ng statics at hindi nakasalalay sa mga pisikal na katangian ng materyal. Ang deformed state, ang relasyon sa pagitan ng mga displacement at deformation, ay itinatag gamit ang geometric o kinematic na pagsasaalang-alang at hindi rin nakadepende sa mga katangian ng materyal. Upang makapagtatag ng isang relasyon sa pagitan ng mga stress at strain, kinakailangang isaalang-alang ang aktwal na mga katangian ng materyal at mga kondisyon ng paglo-load. Ang mga modelong matematikal na naglalarawan sa mga ugnayan sa pagitan ng mga stress at strain ay binuo batay sa data ng pang-eksperimentong. Dapat ipakita ng mga modelong ito ang mga aktwal na katangian ng mga materyales at kondisyon ng paglo-load na may sapat na antas ng katumpakan.
Ang pinakakaraniwang mga modelo para sa mga materyales sa istruktura ay ang pagkalastiko at pagkalastiko. Ang pagkalastiko ay ang pag-aari ng isang katawan upang baguhin ang hugis at sukat sa ilalim ng impluwensya ng mga panlabas na load at ibalik ang orihinal na configuration nito kapag ang load ay tinanggal. Sa matematika, ang pag-aari ng elasticity ay ipinahayag sa pagtatatag ng isang isa-sa-isang functional na relasyon sa pagitan ng mga bahagi ng stress tensor at ang strain tensor. Ang ari-arian ng pagkalastiko ay sumasalamin hindi lamang sa mga katangian ng mga materyales, kundi pati na rin sa mga kondisyon ng paglo-load. Para sa karamihan ng mga materyales sa istruktura, ang pag-aari ng pagkalastiko ay nagpapakita ng sarili sa katamtamang mga halaga ng mga panlabas na puwersa na humahantong sa mga maliliit na deformation, at sa mababang mga rate ng pag-load, kapag ang mga pagkalugi ng enerhiya dahil sa mga epekto ng temperatura ay bale-wala. Ang isang materyal ay tinatawag na linearly elastic kung ang mga bahagi ng stress tensor at strain tensor ay nauugnay sa pamamagitan ng mga linear na relasyon.
Sa mataas na antas ng pag-load, kapag ang mga makabuluhang deformation ay nangyari sa katawan, ang materyal ay bahagyang nawawala ang mga nababanat na katangian nito: kapag na-disload, ang orihinal na mga sukat at hugis nito ay hindi ganap na naibalik, at kapag ang mga panlabas na load ay ganap na inalis, ang mga natitirang deformation ay naitala. Sa kasong ito ang ugnayan sa pagitan ng mga stress at mga strain ay tumigil na maging malinaw. Ang materyal na ari-arian na ito ay tinatawag kaplastikan. Ang mga natitirang deformation na naipon sa panahon ng plastic deformation ay tinatawag na plastic.
Maaaring maging sanhi ng mataas na antas ng pagkarga pagkasira, ibig sabihin, paghahati ng katawan sa mga bahagi. Ang mga solidong gawa sa iba't ibang materyales ay nabigo sa iba't ibang halaga ng pagpapapangit. Ang bali ay malutong sa maliliit na pagpapapangit at nangyayari, bilang panuntunan, nang walang kapansin-pansing mga deformasyon ng plastik. Ang ganitong pagkasira ay tipikal para sa cast iron, haluang metal na bakal, kongkreto, salamin, keramika at ilang iba pang istrukturang materyales. Ang mga low-carbon na bakal, non-ferrous na metal, at plastik ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang plastik na uri ng pagkabigo sa pagkakaroon ng mga makabuluhang natitirang deformation. Gayunpaman, ang paghahati ng mga materyales sa malutong at ductile ayon sa likas na katangian ng kanilang pagkasira ay napaka-arbitrary; kadalasang tumutukoy ito sa ilang karaniwang mga kondisyon ng operating. Ang parehong materyal ay maaaring kumilos, depende sa mga kondisyon (temperatura, ang likas na katangian ng pagkarga, teknolohiya ng pagmamanupaktura, atbp.) bilang malutong o ductile. Halimbawa, ang mga materyal na plastik sa normal na temperatura ay nasira bilang malutong sa mababang temperatura. Samakatuwid, mas tama na magsalita hindi tungkol sa malutong at plastik na mga materyales, ngunit tungkol sa malutong o plastik na estado ng materyal.
Hayaang maging linearly elastic at isotropic ang materyal. Isaalang-alang natin ang elementary volume sa ilalim ng mga kondisyon ng uniaxial stress state (Fig. 1), upang ang stress tensor ay may anyo
Sa gayong pagkarga, ang mga sukat ay tumataas sa direksyon ng axis oh nailalarawan sa pamamagitan ng linear deformation, na proporsyonal sa magnitude ng stress
Fig.1. Uniaxial stress state
Ang kaugnayang ito ay isang mathematical notation Batas ni Hooke pagtatatag ng isang proporsyonal na relasyon sa pagitan ng stress at ang kaukulang linear deformation sa isang uniaxial stress state. Ang proportionality coefficient E ay tinatawag na longitudinal modulus of elasticity o Young's modulus. Ito ay may sukat ng stress.
Kasabay ng pagtaas ng laki sa direksyon ng pagkilos; Sa ilalim ng parehong stress, ang pagbawas sa laki ay nangyayari sa dalawang orthogonal na direksyon (Larawan 1). Tinutukoy namin ang kaukulang mga pagpapapangit sa pamamagitan ng at , at ang mga pagpapapangit na ito ay negatibo habang positibo at proporsyonal sa:
Sa sabay-sabay na pagkilos ng mga stress kasama ang tatlong orthogonal axes, kapag walang tangential stresses, ang prinsipyo ng superposition (superposition ng mga solusyon) ay may bisa para sa isang linearly elastic na materyal:
Isinasaalang-alang ang mga formula (1 4) na nakukuha natin
|
Ang mga tangential na stress ay nagdudulot ng mga angular na deformation, at sa maliliit na deformation ay hindi nila naaapektuhan ang pagbabago sa mga linear na sukat, at samakatuwid ay linear deformation. Samakatuwid, ang mga ito ay may bisa din sa kaso ng isang arbitrary na estado ng stress at ipahayag ang tinatawag na pangkalahatan ang batas ni Hooke.
Ang angular deformation ay sanhi ng tangential stress, at ang deformation at , ayon sa pagkakabanggit, ng mga stress at. May mga proporsyonal na ugnayan sa pagitan ng kaukulang tangential stresses at angular deformation para sa isang linearly elastic isotropic body
na nagpapahayag ng batas gunting ni Hooke. Ang proportionality factor G ay tinatawag paggugupit na module. Mahalaga na ang normal na stress ay hindi nakakaapekto sa mga angular na deformation, dahil sa kasong ito ang mga linear na sukat lamang ng mga segment ay nagbabago, at hindi ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito (Larawan 1).
Mayroon ding linear na relasyon sa pagitan ng average na stress (2.18), proporsyonal sa unang invariant ng stress tensor, at volumetric strain (2.32), na kasabay ng unang invariant ng strain tensor:
Fig.2. Plane shear strain
Kaukulang proporsyonalidad na kadahilanan SA tinawag volumetric modulus ng elasticity.
Kasama sa mga formula (1 7) ang nababanat na katangian ng materyal E, , G At SA, pagtukoy ng mga nababanat na katangian nito. Gayunpaman, ang mga katangiang ito ay hindi independyente. Para sa isang isotropic na materyal, mayroong dalawang independiyenteng nababanat na katangian, na kadalasang pinipili bilang nababanat na modulus E at ratio ng Poisson. Upang ipahayag ang modulus ng paggugupit G sa pamamagitan ng E At , Isaalang-alang natin ang deformation ng plane shear sa ilalim ng pagkilos ng tangential stresses (Fig. 2). Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, gumagamit kami ng isang parisukat na elemento na may gilid A. Kalkulahin natin ang mga pangunahing stress , . Ang mga stress na ito ay kumikilos sa mga lugar na matatagpuan sa isang anggulo sa orihinal na mga lugar. Mula sa Fig. 2 ay makikita natin ang kaugnayan sa pagitan ng linear deformation sa direksyon ng stress at angular deformation . Ang pangunahing dayagonal ng rhombus, na nagpapakilala sa pagpapapangit, ay katumbas ng
Para sa maliliit na deformation
Isinasaalang-alang ang mga ugnayang ito
Bago ang pagpapapangit, ang dayagonal na ito ay may sukat . Pagkatapos ay magkakaroon tayo
Mula sa pangkalahatang batas ng Hooke (5) ay nakukuha natin
Ang paghahambing ng resultang formula sa notasyon ng batas ni Hooke para sa shift (6) ay nagbibigay
Bilang resulta nakukuha namin
Kung ikukumpara ang pananalitang ito sa volumetric law (7) ni Hooke, narating natin ang resulta
Mga katangiang mekanikal E, , G At SA ay matatagpuan pagkatapos iproseso ang pang-eksperimentong data mula sa mga sample ng pagsubok sa ilalim ng iba't ibang uri ng pag-load. Mula sa pisikal na pananaw, ang lahat ng mga katangiang ito ay hindi maaaring negatibo. Bilang karagdagan, mula sa huling expression ay sumusunod na ang ratio ng Poisson para sa isang isotropic na materyal ay hindi lalampas sa 1/2. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na paghihigpit para sa nababanat na mga pare-pareho ng isang isotropic na materyal:
Ang limitasyon ng halaga ay humahantong sa limitasyon ng halaga , na tumutugma sa isang hindi mapipigil na materyal (at). Sa konklusyon, mula sa mga relasyon sa pagkalastiko (5) ipinapahayag namin ang stress sa mga tuntunin ng pagpapapangit. Isulat natin ang una sa mga ugnayan (5) sa anyo
Gamit ang pagkakapantay-pantay (9) magkakaroon tayo
Ang mga katulad na relasyon ay maaaring makuha para sa at . Bilang resulta nakukuha namin
|
Dito ginagamit namin ang kaugnayan (8) para sa modulus ng paggugupit. Bilang karagdagan, ang pagtatalaga
POTENSYAL NA ENERHIYA NG ELASTIC DEFORMATION
Isaalang-alang muna natin ang volume ng elementarya dV=dxdydz sa ilalim ng uniaxial stress na kondisyon (Larawan 1). Ayusin sa isip ang site x=0(Larawan 3). Ang isang puwersa ay kumikilos sa kabaligtaran na ibabaw .
Ang puwersang ito ay gumagana sa displacement .
Kapag ang boltahe ay tumaas mula sa zero level hanggang sa halaga
ang kaukulang pagpapapangit dahil sa batas ni Hooke ay tumataas din mula sa zero hanggang sa halaga ,
at ang gawain ay proporsyonal sa shaded figure sa Fig. 4 na parisukat: 
. Kung pinababayaan natin ang kinetic energy at mga pagkalugi na nauugnay sa thermal, electromagnetic at iba pang mga phenomena, kung gayon, dahil sa batas ng konserbasyon ng enerhiya, ang gawaing ginawa ay magiging potensyal na enerhiya, naipon sa panahon ng pagpapapangit: .
Halaga Ф= dU/dV tinawag tiyak na potensyal na enerhiya ng pagpapapangit, pagkakaroon ng kahulugan ng potensyal na enerhiya na naipon sa isang unit volume ng isang katawan. Sa kaso ng uniaxial stress state
Ipinapakita ng mga obserbasyon na para sa karamihan ng mga nababanat na katawan, tulad ng bakal, tanso, kahoy, atbp., ang laki ng mga pagpapapangit ay proporsyonal sa magnitude ng mga kumikilos na pwersa. Ang isang tipikal na halimbawa na nagpapaliwanag sa property na ito ay isang spring balance, kung saan ang pagpahaba ng spring ay proporsyonal sa kumikilos na puwersa. Ito ay makikita mula sa katotohanan na ang dibisyon na sukat ng naturang mga kaliskis ay pare-pareho. Bilang isang pangkalahatang pag-aari ng mga nababanat na katawan, ang batas ng proporsyonalidad sa pagitan ng puwersa at pagpapapangit ay unang binuo ni R. Hooke noong 1660 at inilathala noong 1678 sa akdang "De potentia restitutiva". Sa modernong pagbabalangkas ng batas na ito, hindi mga puwersa at paggalaw ng mga punto ng kanilang aplikasyon ang isinasaalang-alang, ngunit ang stress at pagpapapangit.
Kaya, para sa purong pag-igting ito ay ipinapalagay:
Narito ang relatibong elongation ng anumang segment na kinuha sa stretching na direksyon. Halimbawa, kung ang mga tadyang na ipinapakita sa Fig. 11 ang mga prisma bago ilapat ang pagkarga ay a, b at c, tulad ng ipinapakita sa pagguhit, at pagkatapos ng pagpapapangit ay magiging ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos ay .
Ang pare-parehong E, na may sukat ng stress, ay tinatawag na elastic modulus, o Young's modulus.
Ang pag-igting ng mga elemento na kahanay sa kumikilos na mga stress o ay sinamahan ng isang pag-urong ng mga patayong elemento, iyon ay, isang pagbawas sa mga transverse na sukat ng baras (mga sukat sa pagguhit). Relatibong transverse strain
magiging negatibong halaga. Ito ay lumiliko na ang mga paayon at nakahalang na mga deformation sa isang nababanat na katawan ay nauugnay sa isang pare-parehong ratio:
Ang walang sukat na dami v, pare-pareho para sa bawat materyal, ay tinatawag na lateral compression ratio o Poisson's ratio. Si Poisson mismo, na nagpapatuloy mula sa mga teoretikal na pagsasaalang-alang na kalaunan ay naging hindi tama, ay naniniwala na para sa lahat ng mga materyales (1829). Sa katunayan, ang mga halaga ng koepisyent na ito ay naiiba. Oo, para sa bakal
Ang pagpapalit ng expression sa huling formula na nakukuha natin:
Ang Batas ni Hooke ay hindi isang eksaktong batas. Para sa bakal, ang mga paglihis mula sa proporsyonalidad sa pagitan ay hindi gaanong mahalaga, habang ang cast iron o pag-ukit ay malinaw na hindi sumusunod sa batas na ito. Para sa kanila, at maaaring tantiyahin sa pamamagitan ng isang linear na function lamang sa roughest approximation.
Sa mahabang panahon, ang lakas ng mga materyales ay nababahala lamang sa mga materyales na sumusunod sa batas ni Hooke, at ang paggamit ng mga formula ng lakas ng mga materyales sa ibang mga katawan ay maaari lamang gawin nang may malaking reserba. Sa kasalukuyan, ang mga nonlinear elasticity na batas ay nagsisimula nang pag-aralan at ilapat sa paglutas ng mga partikular na problema.
Naglo-load...
