Рівняння енергії. повна система рівнянь механіки суцільного середовища. Загальне рівняння балансу енергії

Рівняння та інтеграл Бернуллі.Рішення рівнянь Ейлера (1.76) призводить до одного з найважливіших рівнянь гідродинаміки - рівняння Бернуллі. Помножимо перше із рівнянь Ейлера (1.76) на dx, друге - на dy, третє - на dz, а потім почленно складемо. В результаті отримаємо

Проінтегруємо (1.108) вздовж елементарного струменя при наступних припущеннях:

Розглянемо окремі суми, що входять до (1.108).

Враховуючи, що , , , представимо суму в лівій частині у вигляді

, (1.109)

де u- дійсна повна швидкість у цій точці.

На підставі другого та третього припущень проекції прискорень масових сил на осі координат становитимуть X=Y= 0, Z = -g.Тоді перша сума у ​​правій частині (1.108) набуде вигляду

Xdx+Ydy+Zdz=-gdz. (1.110)

З першого припущення все параметри потоку, зокрема і тиск, не залежить від часу і є функціями лише координат, тобто. p = p(x,y,z). Отже, вираз у дужках у другого доданку у правій частині (1.108) є повним диференціалом тиску, тобто.

. (1.111)

Підставляючи (1.109), (1.110), (1.111) до (1.108) і збираючи всі складові в лівій частині, отримаємо

. (1.112)

Вираз (1.112) називають диференціальним рівнянням Бернуллі.

Одиниця виміру членів рівняння (1.112) - Дж/кг.

Бернуллі можна представити в інших видах, помноживши всі його члени на ρ ,

(1.113)

або розділивши на g

. (1.114)

У цьому одиниці виміру всіх членів рівняння (1.113) - Па, а (1.114) - м.

Проінтегрувавши рівняння (1.112) - (1.114), отримаємо вирази

; (1.115)

; (1.116)

. (1.117)

Рівняння (1.115)-(1.117) називаються інтегралом Бернуллі.

Енергетичний сенс інтеграла Бернуллі. Приймаючи ρ = const, в результаті інтегрування рівняння (1.112) отримаємо

Одиниця виміру всіх членів рівняння (1.118), як і (1.112) - Дж/кг.

Частка рідини, що рухається, має цілком певний запас механічної енергії. Якщо абсолютно тверде тіло має запас потенційної енергії положення в полі сил тяжіння і кінетичної енергією, то рідка частинка, як пружне тіло, має ще й запас потенційної енергії стану. Ця енергія тим більша, чим більший об'єм рідини і чим вищий тиск, і виявляється в тому, що, наприклад, нагнітання рідини в посудину може призвести до руйнування судини, а стислий газ може виконувати роботу при розширенні.

Отже, повна механічна енергія рідкої частинки Еможе бути визначена як сума Е = Пп +Пз +До, де Пп - потенційна енергія становища полі сил тяжкості; Пс – потенційна енергія стану; До- кінетична енергія.

Потенційна енергія становища може бути підрахована за загальною формулою механіки Пп =mgz, де m- Маса рідкої частинки, кг; z- Висота її положення над горизонтальною площиною відліку, м.м.

Розглянемо питому енергію, що припадає на одиницю маси рідини. Питома потенційна енергія становища становить і в інтегралі Бернуллі (1.118) представлена ​​першим доданком.

Потенційна енергія стану обчислюється за формулою Пз = pV, де p- Тиск, Па; V- Об'єм рідкої частинки, м 3 .

Питома потенційна енергія стану в інтегралі Бернуллі (1.118) представлена ​​другим доданком.

Кінетична енергія рідкої частинки.

Питома кінетична енергія в інтегралі Бернуллі (1.118) представлена ​​третім доданком.

Повна механічна енергія рідкої частинки визначається, отже, сумою , а питома механічна енергія становитиме

. (1.119)

Порівнюючи (1.118) і (1.119), приходимо до енергетичного сенсу інтеграла Бернуллі: питома механічна енергія ідеальної несжимаемой рідини залишається постійною вздовж елементарного струменя. Таким чином, інтеграл Бернуллі виражає собою закон збереження механічної енергії для елементарного струменя, тобто є енергетичним рівнянням.

З інтеграла Бернуллі слід також висновок у тому, що окремі складові питомої механічної енергії можуть змінюватися, та заодно відбувається перетворення однієї виду енергії на інший, т. е. зменшення одного доданку обов'язково має супроводжуватися збільшенням хоча б однієї з інших і навпаки.

Сума членів інтеграла Бернуллі (1.115) дає повний запас енергії, який має одиниця маси ( e), (1.116) - одиниця обсягу ( p), (1.117) - одиниця сили тяжіння щодо прийнятої площини порівняння ( H).

Члени , , виражають кінетичну енергію, суми , , - потенційну енергію, де gz, ρgz, z- потенційна енергія становища, а , , - потенційна енергія стану відповідно одиниці маси, обсягу, одиниці сили тяжкості. Можна також сказати, що рівняння (1.116) та (1.117) виражають собою те саме, що й рівняння (1.99), але в масштабі і відповідно.

Рівнянням (1.115) зручно користуватися для дослідження руху газу зі змінною щільністю, наприклад, у пневмомережах і компресорах.

Якщо під час руху газу зміни тиску незначні і температура постійна, можна вважати ρ = Const. У цих умовах зручно користуватися рівнянням (1.116), яке набуде вигляду

const. (1.120)

Виразом (1.120) зручно користуватися для дослідження руху повітря у вентиляційних мережах і вентиляторах.

При русі крапельної рідини (води, олії тощо), щільність якої постійна, найзручніше користуватися рівнянням (1.117), яке для ρ = const набуде вигляду

Рівняння (1.121) застосовується під час розрахунків водопроводів, гідромагістралей, насосів.

Нерідко використовується інший запис рівняння (1.117). Позначаючи індексом 1 параметри потоку в першому по ходу руху рідини перерізі струмка, а індексом 2 - в подальшому, можемо записати

Геометричний зміст рівняння Бернуллі.Усі складові рівняння (1.122) мають розмірність довжини, тому можна говорити про геометричний зміст рівняння Бернуллі: z- геометрична (геодезична, нівелірна) висота; - п'єзометрична висота; - швидкісна (динамічна) висота; - Висота втрат енергії (напору).

Наведемо інші назви: z- геометричний натиск; - п'єзометричний натиск; - Швидкісний натиск; - Втрата напору; - Повний натиск.

Розглянемо потік рідини в каналі, вимірюючи усі складові рівняння Бернуллі (1.122) у різних перерізах (Рис. 1.30, показані виміри лише для двох перерізів 1-1 і 2-2 ). За площину відліку приймемо довільну горизонтальну площину 0-0 .

Геометричні висоти zлегко визначають як відстань по вертикалі від площини відліку до центрів тяжкості відповідних перерізів. П'єзометричні висоти визначаються як висоти підняття рідини в п'єзометрах, відраховані по вертикалі від центрів тяжкості відповідних перерізів. Швидкісні висоти визначаються як різниці рівнів рідини в трубках Піто та п'єзометрах, поміщених у відповідні перерізи (необхідно відзначити, що для точного вимірювання величини трубку Піто слід поміщати в таку точку перерізу, де локальна швидкість uдорівнює середній швидкості v, що не можна зробити, бо становище цієї точки рідко відомо).

Висота втрат енергії на ділянці, обмеженій перерізами 1-1 і 2-2 , визначиться як різниця рівнів рідини в трубках Піто, поміщених у ці перерізи

Якщо аналогічні виміри виконати для безлічі проміжних перерізів і з'єднати плавною лінією верхні меніски рідини в трубках Піто, ми отримаємо лінію a лінією повного натиску.

З'єднуючи плавною лінією верхні меніски рідини в п'єзометрах, ми отримаємо лінію. b(див. рис. 1.30), яку називають п'єзометричною лінією.

Лінію, що з'єднує центри тяжкості перерізів, називають віссю потоку.

Характер поведінки цих ліній за довжиною потоку lвизначається так званими ухилами.

Гідравлічним ухиломназивають величину

, (1.123)

визначальну поведінку лінії повного натиску.

П'єзометричний ухил

, (1.124)

визначає поведінку п'єзометричної лінії.

Геометричний (геодезичний) ухил

характеризує поведінку осі потоку.

У практичних розрахунках частіше використовуються середні значення ухилів, що обчислюються як відношення різниць відповідних величин на початку та в кінці до довжини потоку.

Так як уздовж по потоку повна енергія його за рахунок втрат безперервно зменшується, лінія повного напору завжди знижується. Гідравлічний ухил (1.124) завжди залишається позитивним.

П'єзометрична лінія може і знижуватися, і підвищуватись. Її поведінка залежить від втрат напору, і від характеру зміни кінетичної енергії. При розширенні каналу швидкість потоку та швидкісний натиск зменшуються. Якщо швидкість зменшення швидкісного напору виявиться вищою, ніж швидкість зменшення повного напору, п'єзометрична лінія буде підніматися.

Діаграми натисків.У ряді завдань гідравліки доцільно дати графічне зображення рівняння Бернуллі у тому чи іншого каналу. Такі графіки називають діаграмами натиску. Вони дозволяють дуже наочно аналізувати поведінку кожного доданка у рівнянні Бернуллі при перебігу рідини каналом. З їхньою допомогою зручно також проводити деякі числові розрахунки. Зазвичай діаграми будують за результатами конкретних розрахунків, відкладаючи у масштабі кожного перерізу значення напорів. Розглянемо принцип побудови діаграми.

Рис. 1.31. Діаграма напорів

Нехай із відкритої посудини великих розмірів рідина витікає в атмосферу по трубі змінного перерізу (Рис. 1.31). Виберемо як площину відліку довільну горизонтальну площину 0-0. Побудову діаграми розпочнемо з лінії повного натиску.

Для цього визначимо повний напір у перерізі, що збігається з вільною поверхнею рідини в посудині. Умовимося в рівнянні Бернуллі та при побудові користуватися надмірними тисками. Тоді на вільній поверхні.

Так як площа судини значно перевищує площу перерізу труби, то відповідно до рівняння витрати швидкість рідини в посудині буде дуже мала в порівнянні зі швидкістю в трубі, а отже, можна знехтувати швидкісним напором.

Таким чином, повний натиск визначається лише геометричним натиском (на діаграмі він позначений крапкою a). Повні натиски в наступних перерізах будемо оцінювати як різницю повного натиску в попередньому перерізі та втрат натиску на ділянці між цими перерізами

. (1.126)

Забігаючи кілька вперед, відзначимо, що розрізняють два види втрат напору: втрати на тертя, обумовлені в'язкістю рідини та місцеві втрати, обумовлені різкою зміною конфігурації потоку, які на відміну від втрат на тертя (шляхових) прийнято вважати зосередженими в одному перерізі потоку. Втрати тертя тим більше, що більше довжина каналу і швидкість потоку і що менше перетин (діаметр) каналу.

У перерізі 1-1 відразу за входом потоку з судини в трубу повний напір буде менше напору в посудині на величину місцевих втрат входу. Віднімаючи з повного тиску в посудині (точка a) втрати входу h 1 , отримаємо точку b, Що визначає повний напір у перерізі 1-1.

На ділянці труби між перерізами 1-1 та 2-2 відбуватимуться втрати напору на тертя. Так як труба на цій ділянці має постійний переріз, то скрізь на одиницю довжини припадають однакові втрати, тобто графік повного натиску матиме лінійний характер. Віднімаючи з повного напору в перерізі 1-1 величину втрат напору на тертя на ділянці h 2 отримаємо повний натиск в перерізі 2-2 (точка з). З'єднавши точки bі зпрямою лінією, отримаємо графік повного натиску для першої ділянки труби.

За аналогією з входом у трубу, віднімаючи з повного натиску в перерізі 2-2 (крапка з) місцеві втрати при раптовому розширенні потоку h 3 отримаємо повний напір у перерізі 3-3 за раптовим розширенням (точка d), віднімаючи з якого втрати на тертя на другій ділянці труби h 4 отримаємо повний напір у вихідному перерізі 4-4 (точка е).

При з'єднанні точок dі еНеобхідно врахувати, що втрати на тертя на одиницю довжини (гідравлічний ухил) на початку ділянки (великі діаметри) будуть меншими, ніж наприкінці (малі діаметри). Отже, лінія повного натиску буде спрямована опуклістю нагору. Таким чином, отримали лінію повного напору abcde.

Перейдемо тепер до побудови п'єзометричної лінії. З цією метою з повного натиску в кожному перерізі відніматимемо швидкісний натиск, т. до.

. (1.127)

На вільній поверхні рідини в посудині швидкісний напір дорівнює нулю і п'єзометричний напір збігається з повним (точка а).

На ділянці між перерізами 1-1 і 2-2 переріз труби, швидкість і швидкісний напір залишаються постійними, і п'єзометрична лінія () буде паралельна лінії повного напору.

При переході від перерізу 2-2 до перерізу 3-3 відбувається різке збільшення перерізу, що супроводжується зменшенням швидкості та швидкісного натиску. Тому п'єзометричний напір у перерізі 3-3 визначитися відніманням з повного напору значно меншої величини (відрізок), ніж для перерізу 2-2 (відрізок).

На другому ділянці труби перетин поступово зменшується, що призводить до поступового зростання швидкості та швидкісного натиску. Отже, у кожному наступному перерізі з повного напору необхідно віднімати все більшу і більшу величину. Тому п'єзометрична лінія безперервно віддаляється від лінії повного натиску. Закінчується п'єзометрична лінія в точці, що збігається з центром тяжкості вихідного перерізу 4-4. Це тим, що у вихідному перерізі знову діє атмосферний тиск і пьезометричний напір по надлишковому тиску дорівнює нулю. Повний натиск складається з геометричного і швидкісного.

За аналогією з побудовою діаграми напору по заданому профілю потоку можливе рішення і зворотного завдання: побудова конфігурації трубопроводу за заданими діаграми напору.

Приклади практичного використання рівняння Бернуллі. Рівняння Бернуллі дозволяє отримати розрахункові формули для різних випадків руху рідини та вирішити багато практичних завдань. При цьому слід мати на увазі, що воно справедливе тільки для потоків, що встановилися, з плоскими живими перерізами.

Для практичного використання рівняння Бернуллі при вирішенні різних завдань проводять два перерізи та горизонтальну площину - площину порівняння. Останню, щоб було менше невідомих, проводять через центр тяжкості одного або, якщо це можливо, двох перерізів, і тоді z 1 або z 2 (або обидва) дорівнюватимуть нулю. Перерізи проводять нормально до напрямку руху рідини, а місця їх проведення вибирають так, щоб перерізи були плоскими, містили невідомі величини, що підлягають визначенню, і достатньо відомих величин. Зазвичай такими місцями є вільна поверхня рідини, вхід або вихід із трубопроводу, місця підключення вимірювальних приладів та ін. Далі для вибраних перерізів, які нумеруються по ходу руху рідини, записується рівняння Бернуллі, підставляються в нього числові значення величин та обчислюються шукані.

При вирішенні деяких завдань доводиться додатково використовувати умову нерозривності (суцільності) течії та брати більше двох перерізів.

До рівняння Бернуллі підставляються абсолютні тиски. Покажемо це найпростішому прикладі (Рис. 1.32). Нехай потрібно визначити швидкість закінчення рідини з резервуару через отвір у стінці при постійному натиску (рівень рідини в резервуарі постійний).

Проводимо переріз 1-1 за рівнем рідини в резервуарі та переріз 2-2 на виході струменя з отвору. Проводимо довільну горизонтальну площину порівняння x0y. Відомими величинами є z 1 , z 2 (z 1 -z 2 = h), p 1 = p 2 = p a (резервуар відкритий та закінчення відбувається в атмосферу). Тоді, нехтуючи незначними втратами напору при виході струменя з отвору та приймаючи коефіцієнт a= 1, з рівняння (1.122) знаходимо .

Вимірювання тисків та локальних швидкостей.Рідина, що покоїться, не володіє кінетичною енергією. Тоді інтеграл Бернуллі (1.118) набуде вигляду

Позначивши тиск на вільній поверхні рідини p 0 , а її координату z 0 (Рис. 1.33), рівняння (1.128) можемо надати вигляду

Або. (1.129)

Позначивши глибину занурення крапки (наприклад, А) під вільною поверхнею рідини через h = z 0 - z, надамо (1.129) вигляд.

Останнє є основним рівнянням гідростатики (1.26) і було раніше отримано рішенням диференціальних рівнянь рівноваги Ейлера.

Введемо в крапку У(Мал. 1.33) закритий п'єзометр, Що являє собою скляну трубку з запаяним верхнім кінцем з якої видалено повітря. Під дією тиску в точці Урідина піднімається на деяку висоту h’. Для її обчислення запишемо (1.26) для рідини, що покоїться в п'езометрі. Так як з нього видалено повітря, то над рідиною тиск дорівнюватиме нулю.

Таким чином, висота підняття рідини в п'єзометрі в деякому масштабі (1: g) визначає питому потенційну енергію стану рідини, а вираз (1.131) можна використовувати для розрахунку тиску, виміряного за допомогою п'єзометра. Формула (1.131) визначає спосіб перерахунку тисків, виражених висотою стовпа рідини, розмірні одиниці.

Так як (1.26) отримана на підставі (1.130), то легко бачити, що в яку б точку даної рідини ми не поміщали п'єзометр, сума координати zцієї точки і висоти підйому рідини в п'єзометрі залишається постійною, тобто верхній меніск рідини в п'єзометрі завжди буде на тому самому рівні. Горизонтальну площину a-a(Мал. 1.33), проведену через верхні меніски рідини в п'єзометрах, називають напірною площиною, побудованої за абсолютним тиском.

Закритий п'єзометр, як бачимо, вимірює абсолютний тиск у рідині. Надмірний тиск можна виміряти за допомогою відкритого п'єзометра, Що являє собою скляну трубку, відкриту з обох кінців.

Помістимо відкритий п'єзометр (рис. 1.33) в точку, розташовану на тій же глибині під вільною поверхнею, що і точка У. З (1.26) видно, що тиску в точках і Убудуть однакові.

Над вільною поверхнею рідини в п'єзометрі діятиме атмосферний тиск, тому на підставі (1.26) можемо написати , звідки

, (1.132)

тобто висота підняття рідини у відкритому п'єзометрі в масштабі (1: g) вимірює ту ж питому потенційну енергію стану рідини, але визначену за надмірним тиском.

Сказане вище про рівні рідини в закритих п'єзометрах справедливо і для відкритих, з тією лише різницею, що напірна площина надлишкового тиску (див. Рис. 1.33), проведена через верхні меніски рідини у відкритих п'єзометрах, буде розташована нижче площини a-aна висоту , у чому неважко переконатися за допомогою (1.132) та (1.133).

Для вимірювання локальних швидкостей у закритих каналах, рух рідини в яких називають напірним, використовується трубка Піто-Прандтля, що є комбінацією трубки Піто і п'езометра (Рис. 1.34), які зазвичай об'єднуються в одну конструкцію.

Трубка Піто-Прандтля вводиться в потік таким чином, щоб відкритий кінець трубки Піто був спрямований перпендикулярно вектору швидкості, а відкритий кінець п'єзометра - по дотичній.

Як і в попередньому випадку, для трубки Піто справедлива умова

, (1.133)

тільки висота hі мають тут інший зміст (див. рис. 1.34).

Оскільки рідина прослизає біля вхідного перерізу п'єзометра не загальмовуючись, то в ньому діятиме такий же тиск, як і в рідині, що рухається, тобто . Для нього на підставі (1.70) можемо написати (бо на вільній поверхні рідини в п'єзометрі діє атмосферний тиск, як і в трубці Піто) рівняння

але в даному випадку є висотою підняття рідини в п'єзометрі.

Вираз (1.134), справедливий і в даному випадку, після підстановки і приведе знову-таки до (1.135), а практичних розрахунків необхідно писати

де з= 1,01…1,05; h- Різниця рівнів рідини в трубці Піто та п'єзометрі.

Вимірювання витрати.Трубка Піто-Прандтля служить для вимірювання локальних швидкостей руху. У тому випадку, якщо відомий живий переріз потоку, витрата може бути розрахована за рівнянням (1.26). Існують прилади безпосереднього вимірювання витрати. Велике поширення у практиці знайшли расходомер Вентурі та нормальна діафрагма (шайба).

Витратомір Вентурі.Великою перевагою цього приладу є простота конструкції та відсутність будь-яких рухомих частин. Він може бути розташований горизонтально, вертикально та під будь-яким кутом, що принципового значення не має. Розглянемо витратомір із горизонтальною віссю (Рис. 1.35).

Він складається з двох циліндричних труб Аі Удіаметром d 1 , з'єднаних за допомогою двох конічних ділянок (патрубків) Cі Dз циліндричною вставкою Еменшого діаметра d 2 . У перерізах 1-1 та 2-2 до витратоміру приєднані п'єзометри аі b, Різниця рівнів рідини в яких показує різницю тисків у цих перерізах

Складаючи рівняння Бернуллі для перерізів 1-1 і 2-2 і нехтуючи дуже невеликими на малій довжині між цими перерізами втратами

, (1.136)

звідки , Але й, отже, .

Повна енергія одиниці маси пласта складається з віднесених до одиниці маси внутрішньої питомої енергії порід пласта і речовин, що його насичують, питомої потенційної і кінетичної енергії речовин, що рухаються в пласті зі швидкістю. Тому

Із закону збереження енергії або, точніше, з першого початку термодинаміки випливає, що зміна енергії пласта та виробленої питомої роботи дорівнює кількості підведеного до пласту тепла, помноженого на механічний еквівалент тепла, тобто.

або з урахуванням (3.17)

Дамо кількісну оцінку входять до (3.19) величин. Питома внутрішня енергія пласта за відсутності у ньому хімічних чи ядерних перетворень речовини є теплову енергію в одиниці маси пласта, отже

де - Питома теплоємність пласта; Т – температура. Припустимо, що пористий пласт насичений водою. Тоді ( - Питома теплоємність порід пласта; - Питома теплоємність води, - пористість). Нехай = 1,046 кДж/(кг×К), = 4,184 кДж/(кг. К), , . Тоді =102×1,67×1=170 м. Питома потенційна енергія в пластах може змінюватися відповідно до можливих змін рівня речовин, що рухаються в пласті. Зазвичай, це десятки і іноді сотні метрів.

де – щільність гірських порід; - щільність насичувальних пластів речовин, і множити всі види питомої енергії, крім внутрішньої, на . При , , .

Тоді для зміни питомої кінетичної енергії отримаємо

З наведеної оцінки випливає, що питомою кінетичною енергією речовин, що рухаються в пласті, можна завжди, крім особливих випадківруху речовин у привибійній зоні свердловин, знехтувати.

Якщо зміна питомої потенційної енергії речовини, що рухається в пласті, становить навіть 100 м, то при множенні цієї величини на отримаємо 10 м. Зміна ж температури пласта всього на один градус рівнозначно зміні питомої внутрішньої енергіїмайже на 200 м. Якщо розробка пласта ведеться з використанням теплових методів, то температура пласта може змінюватися на сотні градусів та його питома внутрішня енергія стане переважаючою серед інших видів енергії. Оцінимо можливу величину роботи, яку можуть проводити насичувальні пласт речовини. Питому роботу. вироблену насичувальною пласт речовиною і віднесену до одиниці маси речовини, визначимо наступним чином:

де – тиск; - Об'єм речовини, що насичує пласт в елементарному обсязі пласта; - Щільність цієї речовини; - прискорення вільного падіння.

Поровий обсяг пласта залишається, взагалі кажучи, незмінним, оскільки не змінюються геометрія пласта та його пористість. Робота речовини у пласті пов'язана завжди з його розширенням. Тому (3.21) і введена величина , що характеризує розширення речовини. При цьому умовно вважатимуться, що речовина, що насичує пласт, розширюючись, хіба що виходить межі елементарного обсягу пласта. Вважатимемо, що з нескінченно малому розширенні речовини в елементарному обсязі пласта маса речовини залишається незмінною.

Тоді і, отже,

Підставляючи (3.22) у (3.21) отримаємо

Оцінимо можливу роботу речовини, що насичує пласт. Очевидно, що найбільшу роботуможе виробляти у пласті газ. Для простоти оцінки вважатимемо газ ідеальним, для якого , де і - тиск і щільність газу за початкових умов. Звідси для ідеального газу

Нехай при зниженні тиску , , , ,

Зроблена оцінка показує, що робота речовини, що насичує пласт, хоча і набагато менше, ніж зміна питомої внутрішньої енергії при теплових методах розробки нафтових родовищ, все ж за певних умов, як це показує досвід, може бути значною.

Розглянемо питання, чому дорівнює входить у (3.18) і (3.19) величина . Тепловиділення в елементі пласта може відбуватися за рахунок екзотермічних хімічних реакцій та гідравлічного тертя та за рахунок теплопровідності. Відхід тепла з елемента пласта за рахунок теплопровідності надалі враховуватимемо при зміні внутрішньої енергії пласта. Перенесення тепла з пласта в покрівлю та підошву враховуватимемо відповідними граничними умовами і тому в балансі енергії елементарного об'єму пласта його не будемо брати до уваги. Енергія речовини, що рухається в пористому середовищі, за рахунок гідравлічного тертя перетворюється на тепло. Для потужності гідравлічного тертя, віднесеної до одиниці маси речовини, що рухається в елементі пласта, маємо наступний вираз:

Припустимо, що у пласті рухається газ в'язкістю зі швидкістю . Проникність пласта, пористість, щільність газу при тиску становить 100 кг/м3. Тоді

За добу з кілограма газу, що рухається в пласті, виділятиметься енергії. Це, звісно, ​​незначна величина. Однак, наприклад, у привибійній зоні свердловин швидкість фільтрації того ж газу може досягати м/с, а іноді й більше. Тоді за тих самих інших умовах, як і вище, значення . На добу з кілограма газу, що фільтрується в пласті, виділиться енергії майже 9кДж. Таким чином, можна зробити висновок, що найбільш істотна зміна енергії в елементі пласта пов'язана з перенесенням тепла за рахунок теплопровідності та конвекції. Певний внесок в енергетичний баланс пласта, особливо при високих швидкостях руху речовин, що його насичують, вносять робота розширення-стиснення речовин і гідравлічне тертя.

Напишемо рівняння збереження енергії в пласті, враховуючи теплопровідність та конвекцію, а також роботу розширення-стиснення речовин та гідравлічне тертя.

Розглядаючи, як і при виведенні рівняння нерозривності маси речовини, що фільтрується в пласті, потік внутрішньої енергії та енергії стиснення , а також вважаючи, що тепло надходить в елементарний об'єм тільки за рахунок гідравлічного тертя, тобто що отримаємо

Тут - вектор сумарної швидкості теплоперенесення в пласті за рахунок теплопровідності та конвекції - вектор швидкості фільтрації. Вираз (3.26) є диференціальне рівняння збереження енергії в пласті, виведене при зазначених вище припущеннях.

Поряд із рівняннями збереження маси та імпульсу, які були використані вище для виведення рівнянь нерозривності та руху, при описі суцільного середовища використовується також і рівняння енергії. Рівняння енергії розглянемо для окремого випадку адіабатичного процесу, коли відсутній теплообмін між елементами суцільного середовища. У цьому випадку зміна внутрішньої енергії Еелемента суцільного середовища з масою (рідкої частинки) пов'язане лише зі зміною його обсягу (за відсутності об'ємних джерел тепловиділення): . Вводячи на розгляд енергію на одиницю маси речовини, отримаємо

Оскільки , то

.

Відповідно до рівняння нерозривності тому

.

Дане рівняння описує розподіл об'ємної щільності внутрішньої енергії та її зміну, що викликається деформацією та рухом середовища. Разом з тим, до зміни внутрішньої енергії можуть призводити процеси, пов'язані з виділенням або поглинанням енергії, наприклад при нагріванні електричним струмом або при хімічних реакціях. Для обліку цих явищ модифікуємо останнє рівняння додаванням його праву частину доданку , має розмірність Вт/м 3 , що описує швидкість виділення або поглинання, залежно від знака, енергії в точках суцільного середовища.

Таким чином, повна система рівнянь динаміки ідеальної рідини (газу) в адіабатичному режимі має вигляд

(58)

Остання рівність є рівняння стану, що замикає систему та визначає конкретні фізичні властивості середовища. Наведемо приклади рівняння стану:

1. Ідеальний газ: , де - постійна Больцмана, n- Концентрація частинок у газі, M- Маса частки.

2. Нестислива рідина:

3. Вода при високих тисках , де , - Тиск і щільність за нормальних умов.

Останній приклад показує, що для збільшення щільності води на 20% необхідний надлишковий тиск. Повертаючись до рівняння енергії, отримуємо

,

де замість взято добуток концентрації частинок на масу частки. Частинки газу загалом мають sстепенів свободи. На кожну міру свободи при термодинамічній рівновазі припадає енергія . Тоді після встановлення виразу для внутрішньої енергії одиниці маси ідеального газу на рівняння енергії отримаємо

,

, ,

де і – постійні. Останній рівності можна надати вигляду де - показник адіабати. Постійну можна визначити з початкових умов . В результаті рівняння адіабати набуде вигляду

Для виведення рівняння зміни енергії будь-якої системи в найзагальнішому вигляді розглянемо ізольовану систему (ІВ), що складається з робочого тіла (РТ) в циліндрі з рухомим поршнем, джерела тепла (ІТ) та навколишнього середовища, що включає в себе приймач роботи ПР (гиря) ), поршень (П) і рідке довкілля (ЖОС), наприклад, атмосферу (рис. 2.1), і застосуємо до неї закон збереження енергії (ЗСЕ):

Е ІС = Е РТ + Е ІТ + Е ОС = const або dЕ РТ + dЕ ІТ + dЕ ОС = 0.

Перепишемо останнє рівняння у вигляді

dЕ = dЕ РТ = - dЕ ІТ - dЕ ОС. (2.2)

Відповідно до ЗСЕ (2.2) збільшення енергії РТ одно зменшили енергій ІТ та ОС.

На практиці праві частини рівняння (2.2) прийнято розраховувати не через параметри джерела тепла та навколишнього середовища, а через параметри, що характеризують особливості перебігу процесів на межі системи (РТ).

Процеси перенесення руху від ІТ до РТ і від РТ до ОС, що включає приймач роботи, мають різні особливості. Підведення руху від ІТ до РТ відбувається в результаті взаємодії молекул газу з молекулами стінок без їхнього макроскопічного переміщення, тобто рух підводиться в хаотичній формі (ХФ). Процес підведення руху у хаотичній формі прийнято називати процесом теплообміну (теплообміном).

При взаємодії молекул газу з рухомим поршнем виникає макроскопічне переміщення поршня, тобто рух передається в упорядкованій формі (УФ). Процес перенесення руху в упорядкованій формі прийнято називати процесом виконання роботи (роботою).

Рисунок 2.1 – До висновку рівняння першого закону термодинаміки із ЗСЕ

Оскільки енергія (як фізична величина) є мірою руху як вмісту в системі, так і переданого через межу системи, то, отже, заходами руху, переданого в процесах теплообміну (в ХФ) та здійснення роботи (в УФ), будуть відповідно елементарні енергії Е передХФ та Е передУФ, які прийнято називати відповідно теплотою Q та роботою W":

Q = Е передХФ = - dЕ ІТ і W" = Е передУФ = - dЕ ОС.

З урахуванням прийнятих позначень рівняння ПЗТ (2.2) запишеться у вигляді Тут для позначення елементарності величин теплоти Q та роботи W використано символ елементарності, а не символ повного диференціала (повного збільшення) d, оскільки ці величини (на відміну від зміни енергії системи dE) в загальному випадку не можуть бути розраховані через параметри системи і, отже, повинні бути позначені іншим символом, ніж d.

dЕ = dЕРТ = ЕпередХФ + ЕпередУФ = Q + W". (2.3)

Відповідно до цього балансового рівняння енергії повне збільшення (зміна) енергії системи дорівнює сумі елементарних енергій, що характеризують рух, переданий через межу системи в процесах теплообміну (в ХФ) та здійснення роботи (в УФ) (при цьому число тіл, що беруть участь у процесах теплообміну та здійснення роботи, може бути будь-яким).

Отже, теплота і робота - це енергії руху. макроскопічного перенесення речовини., переданого відповідно у процесах теплообміну та здійснення роботи (у зв'язку з цим їх іноді називають енергіями переходу, або енергіями в процесі переходу). Тому як одиниця До 1961 р., коли було запроваджено Міжнародну систему одиниць (СІ), як одиниці теплоти використовувалися калорія (від латів. calor - тепло, жар) і кілокалорія, а роботи - ерг і кілограм-метр. Потрібні були значні зусилля багатьох вчених, щоб довести еквівалентність (подібність) величин “теплота” та “робота” та встановити переказний коефіцієнт для одиниць теплоти та роботи - механічний еквівалент теплоти, - рівний 427 кгсм/ккал. Досі в літературі зустрічається одиниця теплоти кілокалорію, тому вкажемо зв'язок між цією одиницею та кілоджоулем: 1 ккал = 4,1868 кДж. теплоти та роботи використовується одиниця енергії – джоуль: [Q] = [W] = [E] = 1 Дж.

Слід зазначити, що фізична величина теплота використовується як для кількісної характеристики руху, переданого у процесі теплообміну, а й у оцінки кількості диссипованого (тобто перетвореного на хаотичний рух) упорядкованого макроскопічного руху, що з необхідністю обліку зростання ентропії у таких процесах. Отже, при дисипації впорядкованого руху теплота дисипації визначається так само, як і робота – через макроскопічні сили та переміщення (наприклад, робота тертя)

Вибір знаку теплоти та роботи. Знак теплоти та роботи залежить від напрямку перенесення руху – до системи або від системи (РТ). Відповідно до балансового рівняння енергії (2.3) знак теплоти і роботи повинен збігатися зі знаком зміни енергії системи: при підведенні руху до системи зміна енергії системи позитивно, отже, і теплота, що підводяться, і робота повинні бути позитивними величинами, а при відведенні руху - негативними величинами .

Для теплоти це правило виконується завжди: теплота, що підводиться позитивна, відводиться негативна. Що ж до знака роботи, то історично її знак визначався не з балансового співвідношення (2.3), якого тоді не було, а з міркувань, що позитивна для людини та робота, яку він отримує від двигуна, тобто робота, що відводиться.

Роботу W", знак якої визначається з балансового співвідношення (2.3) - по знаку прирощення енергії системи, назвемо зовнішньої по знаку Тут поняття зовнішньої W" та внутрішньої W робіт формується відповідно до напряму підведення руху, тобто за знаком (W = W"). Якби знак роботи відповідав знаку зміни енергії у співвідношенні (4.3), як для теплоти, то не треба було б вводити поділ на зовнішню та внутрішню за знаком роботи. Так, у підручнику Бера Г. немає поділу робіт на зовнішні та внутрішні - там всі роботи зовнішні: робота, що підводиться до системи, вважається позитивною, а відводиться негативною роботою (зовнішньою, тому що вона здійснюється за рахунок зменшення зовнішньої енергії - енергії джерел роботи).

Роботу W, знак якої збігається зі знаком зменшення енергії системи, назвемо внутрішньою за знаком роботою (внутрішньою, оскільки вона відбувається рахунок власної, внутрішньої енергії).

Між внутрішнім і зовнішнім по знаку роботами існує очевидний зв'язок:

Рівняння ПЗТ (2.3) для внутрішньої за знаком роботи запишеться у вигляді

Рівняння (2.7) є аналітичним виразом ПЗТ для закритої термодинамічної системи (без обміну речовиною з ОС) у найзагальнішому вигляді і читається так: теплота йде на зміну енергії системи та на виконання роботи. Вперше це рівняння отримав Р. Клаузіус 1850 р.

Зовнішня і внутрішня (за місцем розрахунку) робота і теплота Найчастіше поняття зовнішньої та внутрішньої роботи визначається відповідно до місця розрахунку роботи, тобто в залежності від вибору меж системи - зовнішньої та внутрішньої. Внутрішня межа системи включає тільки одне робоче тіло і збігається з внутрішніми поверхнями поршня, кришки і гільзи циліндра (пунктирна лінія на рис. 2.1). Зовнішня межа системи включає додатково тонкий шар матеріальної оболонки, що охоплює робоче тіло (штрихпунктирна лінія на рис. 2.1).

Тонкий шар оболонки товщиною, порівнянної з діаметром молекул стінки, має малий запас ВЕ і тому впливом його на зміну ВЕ системи можна знехтувати. Роль тонкого шару полягає у перетворенні впорядкованого руху поршня в хаотичний (тепловий) рух молекул цього шару. В результаті такого перетворення зовнішня (ефективна) робота, що відводиться від системи робоче тіло - тонкий шар оболонки (на зовнішній межі), виходить менше внутрішньої (індикаторної) роботи, що здійснюється робочим тілом на внутрішньому кордоні системи, на роботу тертя поршня про гільзу циліндра .мал. 2.1)

Упорядкований рух поршня, диссипований в хаотичний рух тонких шарів поршня та стінки, в результаті теплообміну далі відводиться до робочого тіла та навколишнього середовища. Якщо адіабатні стінки (наприклад, керамічні) або підведення тепла здійснюється із зовнішньої сторони циліндра (двигуни зовнішнього згоряння), то весь диссипований рух (характеризується роботою тертя W тр) повертається до РТ у вигляді хаотичного руху (характеризується теплотою тертя Q тр).

Теплота, що підводиться на зовнішній межі системи від джерел тепла (або спіралі, розташованої всередині газу або всередині матеріалу оболонки) або внаслідок згоряння палива всередині робочого тіла, називається зовнішньою теплотою

При згорянні палива всередині робочого тіла зовнішня теплота менше теплоти, що виділилася згоряння на втрати тепла в стінки циліндра

Q e = Q згор - Q пот.стін. (2.10)

В результаті підведення тепла тертя робоче тіло отримує на внутрішньому кордоні повну теплоту, рівну сумі зовнішньої теплоти та теплоти тертя

Відповідно до вищевикладеного рівняння ПЗТ (2.7) для зовнішньої межі системи (для РТ плюс оболонка) запишеться у вигляді

а для внутрішньої межі системи (для одного РТ) у вигляді

Якщо запровадити поняття зовнішньої за знаком ефективної роботи (позитивна під час роботи над системою) , то рівняння ПЗТ (2.12) можна записати як

Кожна з цих ефективних робіт може бути подана у вигляді суми різних робіт, що здійснюються на межі системи,

де N – число різних робіт.

Процеси руху газу, що відбуваються у різних теплотехнічних установках, пов'язані з перетворенням енергії у газовому потоці. Розрахунки робочих процесів цих установок будуються на загальних положенняхтеорії газового потоку Ця теорія базується на основних положеннях термодинаміки і на ряді припущень, до яких належать такі:

1. Течія газу що встановилося, тобто. у кожному виділеному перерізі параметри газу в усіх його точках залишаються незмінними.

2.От перерізу до перерізу відбуваються нескінченно малі зміни параметрів газу проти значеннями самих параметрів. Перебіг газу стаціонарний.

При таких припущеннях газ під час руху проходитиме ряд послідовних рівноважних станів.

Стаціонарний перебіг газу описується системою рівнянь, що включає рівняння нерозривності потоку, рівняння стану та рівняння енергії (рівняння 1-го закону термодинаміки стосовно газового потоку).

Рівняння нерозривності характеризує незмінність масової витрати газу в будь-якому перерізі каналу при перебігу. Це рівняння має вигляд

де G- масова секундна витрата газу; , F 2 -площі поперечних перерізів каналу; w 1 , w 2- Швидкості у відповідних перерізах; ρ 1 ,ρ 2 - щільності газу для тих самих перерізів потоку ( ρ =l/v).

Для одномірного газового потоку відповідно до другого закону Ньютона (сила дорівнює масі, помноженій на прискорення) можна записати таке співвідношення

- Зміна тиску по координаті х;

- Зміна швидкості за координатою х;

- сила, що діє на виділений елементарний об'єм dV;

- прискорення елементарної маси газу pdV.

Останнє співвідношення можна переписати у вигляді

.

Враховуючи що ρ=1/v, отримаємо

(7.1)

Отримане співвідношення показує, що збільшення тиску dpта швидкості dwмають різні знаки. Отже, швидкість одновимірного потоку зростає із зменшенням тиску.

Величина -vdpзбігається з формулою для наявної роботи dlу рівнянні першого закону термодинаміки виду

.

Звідси рівняння першого закону термодинаміки для газового потоку за відсутності сил тяжіння та сил тертя у газінабуде вигляду

, (7.2)

де збільшення кінетичної енергії газу на виділеній ділянці.

Так як , то

, (7.3)

де d(pv)= pdv+ vdp - елементарна робота проштовхування.

Останнє рівняння показує, що теплота, що повідомляється газу, витрачається на зміну внутрішньої енергії, роботу проштовхування і зміна зовнішньої кінетичної енергії газу.

Рівняння (7.2),(7.3) є основними для потоків газу та пари, причому вони справедливі як для оборотних (не супроводжуються дією сил тертя), так і для незворотних течій (за наявності сил тертя). За наявності сил тертя має витрачатися робота тертя l тр, яка повністю переходить у теплоту q тр. Внаслідок рівності l тр =q тробидві ці величини, що мають протилежні знаки, скорочуються взаємно.

Рівняння (7.3) з урахуванням гравітаційних сил набуває вигляду

де gdz - Елементарна робота проти сил тяжіння. Цю складову в газах через її дещицю зазвичай нехтують.

При адіабатному перебігу газу (dq=0) рівняння (7.2) набуває вигляду

(7.4)

Після інтегрування отримаємо

(7.5)

Таким чином, при адіабатному перебігу газу сума питомих ентальпії та кінетичної енергії залишається незмінною.

Зазначимо, що рівняння (7.2), (7.3), (7.4) справедливі у разі, коли газ при своєму русі здійснює лише роботу розширення і не робить корисної технічної роботи (наприклад, робота на лопатках турбіни та ін.). При виконанні технічної роботи рівняння першого закону термодинаміки(7.3) для потоку газу набуде вигляду

, (7.6)

де dlтих- Елементарна технічна робота.

Порівнюючи рівняння (7.5) з рівнянням першого закону термодинаміки (2.17) для газу, що розширюється, але не переміщається, отримаємо

.

Таким чином, технічна робота дорівнює роботі розширення газу за вирахуванням роботи проштовхування та роботи, що витрачається на збільшення кінетичної енергії газу.